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l’invariant du jacobien est nul. Réciproquement, cet invariant 
ne peut être nul que si a?, b? ont une racine commune, 
Lorsque a, bi ont une même racine, le résultant de ces 
formes est nul; c’est d’ailleurs l'invariant de J. 
4 Considérons les deux formes quelconques a;, b°. Lorsque 
l'un, au moins, de leurs pôles A, B est à l’intérieur de €, la 
droite AB coupe €, en deux points réels. Done, lorsque l’une, au 
moins, des formes &, b? a un invariant négatif, c’est-à-dire 
lorsque l’une d'elles ou toutes les deux ont leurs racines imagi- 
naires, le jacobien a deux racines réelles. L'une des conditions 
aoû — dj < 0, bb, — 65 < 0 
entraine donc l'inégalité 
(abs SEE a2bo)° ee A(ab > bo) (ab: =, ab) > 0. 
5e Le point C est déterminé par l'intersection des polaires de 
a}, b2. 
Si, la première de ces polaires étant fixe, l’autre se meut 
autour du point C, le pôle B de celle-ci décrit la droite c; de 
même, le pôle À décrira la droite c si la polaire a tourne autour 
de C, la polaire b étant fixe. 
Nous en concluons qu'il existe une double infinité de formes 
quadratiques ayant le même jacobien. 
6. Si nous nous en rapportons à ce que nous avons 
démontré (n° 4), nous pourrons énoncer ies théorèmes suivants : 
Les racines du jacobien de deux formes quadratiques repré- 
sentent le couple commun aux deux involutions déterminées par 
ces formes. 
L’involution, ayant pour points conjugués les points-racines 
de deux formes quadratiques, a?, b°, a pour points doubles les 
points-racines du jacobien de ces formes. 
En effet, la polaire du jacobien, passant par les pôles des 
formes a, b?, rencontre C, en deux points, conjugués dans 
chacune des involutions déterminées soit par a, soit par b. 
En outre, les polaires de «> et b?, passant par le pôle du jaco- 
bien, rencontrent C, en deux couples de points conjugués de 
l'involution déterminée par le jacobien. 
