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Donc, lorsque J est nul, c'est-à-dire lorsque les racines de f, 
sont conjuguées harmoniques du second ordre, la conique F, se 
réduit à deux droites. 
Les coniques @ et %,, circonscrites au même quadrangle 
complet 122-À;, ont pour triangle autopolaire commun le triangle 
diagonal ABC du quadrangle (fig. 7). 
La polaire du point (z;, z:, z;) par rapport à C, 
Lars — 22,23 + 252 = 0, 
rencontre la conique #, en deux points, racines de l'équation : 
(a25 + Laits: + a:25)25 + 2[a12132 + G(2135 + 297) + 452225] 2135 
+ (az + Lattes + to rs = 0. 
De sorte que cette polaire sera tangente à $ si l’on a : 
Lazize + a2125 + 29) + 432225 | 
— (022 + Laizsz + 525) (U2z4 + Laszize + Que) = 0; 
c'est-à-dire si le pôle (z,, z, z:) décrit la conique représentée 
par cette dernière équation, qui peut s’écrire : 
(dote — d)zf + (aoû, — 02)25 + (a2Q; — a3)7$ 
+ (Qi — UoU5)Z2ts + Ada — Q5)7133 + Q(GoA; — diQ2)Z172 = 0. 
Nous avons ainsi l’équation de la polaire réciproque de #, par 
rapport à Co. | 
Cette nouvelle conique, Sa rencontre (2 aux points racines 
du hessien H, — 0 de /;, comme on peut le voir par la substi- 
tution (1). 
Les coniques #, et $, jouent, comme nous le verrons, un 
rôle dans les constructions des involutions du quatrième ordre. 
_ À cause des propriétés des coniques polaires réciproques, 
nous pouvons, dès maintenant, conclure : 1° que les tangentes 
communes à Sa et © déterminent, sur celle-ci, les éléments 
quadruples de l'involution B, correspondant à ai = 0; 2° que les 
tangentes communes de #, et @ déterminent, sur celle-ei, les 
éléments doubles des ternes neutres de Ji. 
