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— D'après les propriétés des coniques polaires réciproques, 
nous concluons que les points de contact avec Ÿ, des tangentes 
communes à @ et à #, sont situés sur % ; les points de contact, 
avec Co, des tangentes communes à @ et à $, sont situés 
sur ,. Mais ces quatre derniers points sont les points correspon- 
dants des racines du hessien H, et sont situés sur d ; done, les 
points de contact des tangentes communes aux coniques Co el #, 
sont silués sur X. 
Nous avons ainsi, dans un cas particulier, la démonstration 
du théorème de von Staudt : Les huit points où deux coniques 
sont touchées par leurs tangentes communes sont situés sur une 
troisième conique. 
— Lorsque J=0, les tangentes communes à €, et à #, passent 
par le point d'intersection des droites dans lesquelles la conique 
En se décompose. Donc, si linvariant J est nul, les racines du 
hessien de f, Sont égales deux à deux. 
D'ailleurs, alors, XX se compose des tangentes considérées; les 
racines de H, sont doubles et forment les points doubles 
d’une F dont les racines de /; représentent deux couples. La 
relation J — 0 entraine donc celle-ci : 
2002 — À) AoA3 — ls  Aoly + A — 2aa; 
A3 — Ads 2(a,a; — à) Aa — Az — 0. 
Qoûs + A — 2as AU — Gel; 2(aa, — a) 
— D'après ce qui précède, on pourra construire les racines de 
fa si l'on a construit la conique X, comme il est dit au n° 8%. 
Les tangentes à C9 aux points d'intersection de @ et de X! 
rencontrent X, en quatre nouveaux points; ceux-ci, avec les 
quatre droites qui y passent, déterminent huit conditions pour 
obtenir la conique #, et donner les racines de f, — 0. 
Nous avons donc résolu le problème suivant : Construire les 
éléments quadruples d'une 13 dont on donne deux ternes d’élé- 
ments neuires. 
Æ2. Signalons quelques propriétés des coniques /, et XK. 
— 1° Supposons que le paramétre = d'une tangente à @ soit 
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