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Supposons done qu'une matrice M ayant, pour fixer les idées, 
trois lignes et quatre colonnes de formes linéaires ternaires, 
s’annule pour un nombre fini de points, bien que chacune des 
matrices partielles # s’annule pour une infinité de points (peu 
importe que ces faits soient compatibles ou non). Par des modi- 
fications apportées à certains coefficients, on obtient une matrice 
M’ de même structure et dont certaines matrices partielles m/ 
s’annulent seulement pour un nombre fini de points; nous savons 
que M’ — 0 représente u; — 6 points. 
Admettons que les éléments a,, b,, c, de la matrice M soient 
de la forme a, x, + a, © + 43%;, …; que ce système soit 
rapporté à un triangle de référence dont aucun sommet ne 
coïncide ni avec un point de M ni avec un point de M; enfin, 
que nous cherchions les droites qui joignent les x points de M 
au sommet x,%, du triangle fondamental. Nous avons à éliminer 
x; de M —0, ou, ce qui revient au même, à éliminer &, G, y, x; 
des relations 
adj + Bb, + y = a(ayxs + ax) + B(baxs + bio) 
+ y (Cuxa SF Co) + AL; + Bx:d;s + VAsC;z — 0 (à —= | ,2,3,4). 
En mulüpliant ces quatre relations, d’abord par x;,, puis 
par x°, on a douze égalités homogènes et linéaires en 
2 2 2 3 3 3 
dy PV: Ass Bx;:, VXs, AL, Bx;, VYX3, AX3; Bx3, VA. 
On élimine ces douze variables et l’on a un déterminant qui 
s’annule pour les y valeurs de x, : x répondant aux points de M. 
Or, des modifications à certains coefficients changent cette équa- 
tion en une autre qui a, nous le savons, u; = 6 racines. Done 
pu = 6 où H— ; mais, par hypothèse, n’est pas infini, par 
conséquent le théorème est démontré. 
8. Si les éléments d'une matrice M à / lignes et / + 1 colonnes 
sont des formes linéaires quaternaires, la matrice s’annule, en 
général, pour les points d’une courbe gauche d'ordre Le, 
A 
