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La première des trois alternatives, celle où les deux courbes 
se coupent encore sur l'axe des 6, exige que l’ensernble des 
termes indépendants de p dans chaque équation s’annule pour 
une même valeur de 0, autre que 6— 0. Cette condition est 
indépendante de À, u, y; quand elle est réalisée, les équations 
primitives F(x,y,z;t) = 0 et f(x, y, z; 1) — 0 sont satisfaites 
par les coordonnées du point A et par deux valeurs au moins, 
généralement distinctes, de {. Alors aussi, toute droite passant 
par À rencontre le lieu en deux points coïncidents et À est un 
point singulier du lieu, en général un point double. 
Dans la seccnde alternative, celle où les deux courbes planes 
se touchent à l’origine, on a 
= dE dF _ df = fs Les DL ie ia 
= — +? 
TE Fay do au 
0 
RP À al dt, 
Si l'on regarde À, u, y comme les coordonnées d’un rayon de 
la gerbe de sommet À, cette dernière relation représente le plan 
tangent au lieu géométrique en A. 
La troisième alternative, où l’une des courbes, F par exemple, 
a un point double à l'origine, s'exprime par les relations 
dF dF dF dF 
SE A  —— = 
dXo “ do à do 4 dto 
Réciproquement, si À est un point singulier du lieu, il faut 
que l'une des trois circonstances examinées ci-dessus se réalise, 
quels que soient À, a, ». 
Donc : ou bien les équations primitives sont vérifiées pour 
deux valeurs de t; 
Ou bien l'expression E s’annule, quels que soient À, ue, », et 
l'on a 
Ad dRe dE. GER fe UE, Of 
—— — — TK — 
dx 17 TS dYo dz, Es dE, à dt 
en même temps que F(xo, Yo 303 to) = 0 et /(æo, Yo. 20; to) = 0, 
b) 
