(69) 
Cette surface réglée a un nombre de points triples égal à 
1 
(y 1)(o—2) + Lt — 9) — (ue + » — 9) + seems). 
8'7. Pour qu'il puisse être question de deux racines en £ 
communes aux équations F — 0, / — 0, il faut évidemment que, 
tentrant dans F à une puissance p supérieure à 2, figure au 
moins dans f avec l’exposant 2. Car si f est linéaire en t, lorsque 
cette équation f — 0 a deux racines, elle en a une infinité, et le 
nombre des racines communes en { est égal à; la courbe 
singulière est, non pas double, mais multiple, d'ordre pr. 
Ainsi, lorsque l’on a u—#4,y—1,m—n—1, le lieu est 
une surface réglée du cinquième ordre douée d'une droite qua- 
druple. Au contraire, sip = 3, v — 2, m—n— 1, le lieu est 
une surface réglée du cinquième ordre ayant une courbe double 
d'ordre 6 et de genre 5 avec un point triple (*) 
Le cas où v — 1 donne la solution du problème suivant. 
Soit f + 10 — 0 l'équation d'un faisceau de surfaces d’ordre n. 
Le lieu des intersections de ces surfaces avec une de leurs sur- 
faces covariantes, de degré m et contenant au degré L les coef- 
ficients de f + to et par suite {, est une surface d'ordre »m+ nu 
ayant la courbe de base du faisceau donné comme courbe uple. 
Si la surface covariante est la Hessienne, x = 4, m — 4(n — 2); 
comme une surface coupe sa Hessienne suivant sa courbe para- 
bolique, on retrouve ce théorème connu : Le lieu des points 
paraboliques des surfaces d’un faisceau d’ordre n est une surface 
d'ordre 8(n — 1) ayant la courbe de base du faisceau donne 
comme courbe quadruple (**). 
Siy=—2,u > 2 et si m et n ont des valeurs quelconques, on 
trouve, suivant la méthode générale, l’ordre et le genre de la 
courbe double; mais lorsque l'équation /— 0, quadratique en f, 
a trois racines, elle en a une infinité et, par suite, elle a x racines 
(*) Comp. H. Scuwarz, Journ. f. Math., 67. 
(**) Comp. K. DoesuLemanx, Math. Ann., t. XLI, 
