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communes avec F — 0; la courbe présente alors n5 points sin- 
guliers, non pas triples, mais multiples, d'ordre p. 
Par exemple, le lieu des points paraboliques d’un système de 
surfaces défini par l'équation 
[+tp+ty —0, 
d’ordre n, est une surface d’ordre 16(n — 1) douée d’une courbe 
double d'ordre 8(9n?2 — 15n + 8) et possédant n5 points octuples, 
savoir les points communs aux surfaces f, ©, db. 
38. Nous dirons un mot des points cuspidaux ou points- 
pinces de la courbe double d’un lieu géométrique. Reprenons à 
cet effet les équations des deux courbes planes en p et 0 
F(xo + Àp; Yo + Up» Zo + ?p5 lo + 6) = 0, 
f(to + Àps Yo + ps 20 + 2p5 lo + 4) = 0, 
rencontrées au n° 35. Poussons un peu plus loin le développe- 
ment en série de Taylor : 
dF dE dF dF d 
F=— = — + ho se | 
Ft dxo Fay NT dt, dt, 
dE 
dF dF = 
IN =— 
dxo + Fay dÆ 
no 0, 
[= te À) + ce 2 D 4) 
mi dx, dYo do de TE dt,\ dx, dYo d7 
® d’f 
5 dé Gr -— (0. 
Supposons que le point A (6, Yos Zo5 to) Soit un point double 
du lieu, les termes indépendants de p s’annulant dans les deux 
égalités précédentes, d'abord pour 0 — 0, ensuite pour 0 — #4. 
Cherchons les droites d(, p, v) qui coupent le lieu en trois 
points coincidents en À : les deux courbes planes par hypothèse 
ne se coupent pas une troisième fois sur l'axe des p, sinon A 
serait un point triple; il faut donc qu'elles se touchent, soit à 
l'origine, soit au point p—0, 6—1,, ou que l'une d'elles ait 
un nœud en un de ces points; mais ce dernier cas rentre dans 
