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Réciproquement, si les deux courbes planes ont deux points 
communs infiniment voisins sur l'axe p, c'est-à-dire si elles 
ont, à l'origine, l’axe des p comme tangente commune, on a 
a — T— 0. Supposons qu'elles n'aient pas d'autre point 
commun sur laxe des p, done que À soit double et non triple 
sur le lieu géométrique. Pour avoir les droites d (À, u, y) qui 
rencontrent le lieu en trois points coïncidents, ou le cône tangent 
de sommet À, il faut exprimer que les courbes planes ont, à 
l'origine, un contact du second ordre, ou bien que l’une d'elles 
y présente un nœud, et nous verrons que ce deuxième cas rentre 
dans le premier. Les équations des courbes planes sont réduites à 
dF dE dE dde NL dE dE\ dr 
FRA Fan —)+ Unes an + es - ; 
| df df .f d . df PE ie Pdf 
P NL — # 
Lo 
Ne fi M Vs 
dx F Ge ne dz ro Fan dz 2dË 
Il résulte de raisonnements que nous avons exposés dans une 
note Sur la courbure des lignes et des surfaces (*)}, que ces deux 
courbes ont un contact du second ordre à l’origine quand on a 
de dE dE dE 
+ — 
dx, ar Yo TEA di 
ER un 4 df 
Do ro "dz dti 
Cette équation représente l’ensemble des droites issues de A 
ayant un contact triponctuel avec le lieu géométrique; comme 
elle est du premier ordre, le point est un point uniplanaire, ou 
cuspidal, ou point-pince de la courbe double du lieu. Si l’une 
des courbes planes, F(0, pb) par exemple, avait, à l'origine, un 
nœud dont une des tangentes serait l’axe des 6, on aurait 
dE dF dE dF 
À EU— +7 —= 
dx, dYo do daté 
ce qui est un cas particulier de l'égalité précédente. 
(*) Mém. in-8° de l’Acad. roy. de Belgique, 1897. 
