(75) 
Il est donc démontré que l’on a en général tous les points- 
pinces de la courbe double d’un lieu géométrique ayant pour 
génératrices F (x, y, 2; t) — 0 et f(x, y, 2; t) = 0 en écrivant les 
conditions pour que ces équations soient vérifiées par deux 
valeurs infiniment voisines de t, ou les condilions pour que les 
équalions 
dE df 
F = 0, AT = 0, LL 0, == 
aient une racine commune en t. Ces conditions étant au nombre 
de trois, il y a généralement un nombre fini de ces points 
_cuspidaux. Toutefois, dans des problèmes particuliers, il peut 
arriver que la méthode indiquée ne fournisse pas tous ces points. 
Le problème des enveloppes. 
39. La question de l'enveloppe d'une surface variable 
dépendant d’un seul paramètre { se ramène au problème du 
lieu géométrique, avec une modification qu’il faut rappeler, 
encore qu'elle soit bien connue. 
L'équation de l'enveloppe résulte de l'élimination ordinaire 
de t entre les égalités 
F(x, y, 25 t) = 0, 
la première contient par exemple 4 à la puissance 1 et la seconde 
à la puissance u — 1. Il est donc clair que l’on peut remplacer 
la première par uF — t - — 0, ce qui ramène à un système de 
deux équations du degré u — 1 en t. 
La courbe singulière se trouve encore en exprimant que ces 
deux égalités sont vérifiées pour deux valeurs de r, les points 
triples en écrivant qu'elles ont trois racines communes en f; 
mais pour les points cuspidaux la question change, car, au lieu 
de quatre équations en #, il n’y en a évidemment que trois, 
savoir : 
dF dE 
F —— 0, ——— 0, PTE = 0, 
