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Réciproquement, si ce déterminant est nul, il existe une 
même relation linéaire entre les termes de chaque colonne; par 
exemple 
Mad + Ha + Us; = Ô, 
el, + pbs + abs = 0, 
A + Âodo + Ads + y + Lo + Mals = 0, 
Abu + Ab + Xbs + ui + wo, + ul; = 0, 
AG + AG + Ass —(}} 
Adi + oo + À3d3 = \1,£ 
d'où, en multipliant respectivement par x2y, x?, xy, æ, y, 1, et 
additionnant, on a, quels que soient x et y, 
Za(asxy + bic + ciy + di) + Ei(ax?y + Dix? + cry +- dix) = 0, 
ou 
Qu + et) + (à + pr) + (5 + w:x)F; = 0. 
Tout point commun à F, et F, doit annuler (À; + u:x)F>; or, 
la droite À; + u;x — 0 ne peut contenir que deux points com- 
muns à F, et F,, dont un à l'infini, donc un point commun à 
distance finie de F, et F, doit être sur F. 
Après avoir écrit la condition d'existence d'un système de 
racines communes aux trois équations, cherchons les conditions 
d'existence de deux systèmes pareils. Elles s’écrivent 
l'as bic d; [= 0: 
Car, si les points communs aux trois courbes F,, F2, F> ont pour 
coordonnées X, Ÿ et X’, Y’, les équations linéaires 
Qiér + Dés + Es + dé, = 0 (A1) 
sont vérifiées pour deux systèmes de valeurs des Ë, savoir 
XY, X, Y, 1 et X/Y’, X/, Y’, 1, donc elles le sont pour une 
infinité de systèmes et la matrice des coefficients s’annule. Réei- 
proquement, si cette matrice est égale à zéro, il existe une 
même relation linéaire entre les éléments de chaque colonne, 
done les courbes F; font partie d'un même faisceau et possèdent 
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