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Réciproquement, si b — 49, on peut calculer les coefficients 
de la forme a’ en fonction de a, b, c, h, q, f. 
En appliquant à cette forme aa, la condition pour qu’elle 
représente une involution cubique (voir n° 5), 
hf — bg = ac — 6, 
on trouve, en appelant 4,, a et b4, b, des symboles équivalents, 
aÿbé + Saïasbibs — kasaëbÿb, = L (ab, — asb,) = 0, 
c'est-à-dire qu'alors linvariant quartique de la forme af s’éva- 
nouit. Donc, les points d’une ponctuelle forment une involution 
cubique avec leurs seconds systèmes polaires relatifs à une forme 
quartique quand celle-ci représente quatre points équianharmo- 
niques. 
8. En résumé, on a, dans l’ordre de généralité décroissante : 
1. L'homographie du troisième ordre et du premier rang; 
2. La même homographie, mais symétrique par rapport à 
deux des trois variables ; 
5. La forme + doublement quadratique binaire et symétrique; 
4. L'involution eubique, ou la forme ® dans le cas où la 
quantité ac + bg — hf — g? s'évanouit ; 
4. La forme + dans le cas où le déterminant A est nul; 
4!, Les points d'une ponctuelle et leurs seconds systèmes 
polaires relatifs à une forme quartique binaire, ou la forme v avec 
la condition b — 49; 
5. Les points d’une ponctuelle avec leurs seconds systèmes 
polaires relatifs à quatre points équianharmoniques, ou la 
forme © avec les deux conditions b = 49, ac + 59? — hf — 0. 
Application aux coniques. 
9. Dans son Traité des fonctions elliptiques, Halphen a 
ramené l'étude d’un système de deux coniques d’un même plan 
à celle d'une forme doublement quadratique et symétrique. 
