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Considérons une bisécante AB de c; qui ne soit pas généra- 
trice de F ; elle ne rencontre aucune autre génératrice de E, si 
ce n’est en À ou B sur la courbe; donc A et B sont des points 
multiples, d'ordres respectifs n et n° par exemple, et l'ordre de 
la surface est n + n’. Du point À, non plus que du point B, on 
ne peut mener qu'un nombre fini de génératrices, sinon la 
surface F se décomposerait et contiendrait, comme partie inté- 
grante, le cône de sommet A ou B perspectif à c;, hypothèse 
exclue en supposant que AB n’est pas génératrice de F. Done 
il existe une infinité de points C de la cubique tels que, ni AC 
ni BC ne sont génératrices de F. Alors, puisque À est multiple 
d'ordre n, C est multiple d'ordre n/, et comme B et C sont 
multiples d'ordre n!, l'ordre de la surface est 2n/. Par suite 
nn. 
Ainsi toutes les surfaces ayant pour génératrices des bisécantes 
d’une cubique gauche sont d’ordre pair 2n et ont la cubique 
comme courbe multiple d'ordre n. Désignons une de ces surfaces 
par F... j 
Réciproquement, toute surface d'ordre 2n qui a c; comme 
courbe multiple d'ordre n est réglée, car la bisécante issue d’un 
point quelconque de la surface possède, outre ce point, deux 
points a‘ sur F,, et se trouve tout entière sur la surface. 
Une semi-sécante issue d’un point A de c; rencontre F,, en 
n points autres que À et coupe n génératrices ailleurs qu’en À, 
done cette semi-sécante est dans n plans contenant une géné- 
ratrice; par conséquent, les plans qui projettent de A les géné- 
ratrices de F,, enveloppent un cône de classe n. 
Réciproquement, les bisécantes de c; tangentes à un cône de 
elasse n ayant son sommet en À sur la courbe engendrent une 
surface ayant tout point B de la courbe comme point n°, car 
de ce point B on peut, en général, mener n bisécantes tangentes 
au cône de sommet A. Et la surface ainsi engendrée est de 
celles que nous avons appelées F,,. 
15. Quelques mots de géométrie projective montreront, 
d'une autre manière, comment la théorie des bisécantes d'une 
