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Cette conique est donc indépendante des quantités a et c que 
l'on peut appeler puissances des deux involutions. 
5. Pour obtenir l'enveloppe des diagonales des quadrangles 
inscrits, prenons les deux involutions projectives que fournit 
l'équation de +, sous la forme du n° 4 : 
x + 2(n — d)r;r, + ax — 0, 
Aa + (mA + b— mn)rer, + Axi = 0. 
Une droite w donnée par l'équation 
UT + Uls 
Las = — ———— 
Us 
coupe la première involution en des couples de points qui, 
projetés du nœud x,%9, donnent cette troisième involution 
(uste + 0x) — L(n — àjusx (uote + UT) + ausxs = 0. 
Pour que la droite w soit diagonale d’un quadrangle inscrit, 
il faut que la seconde et la troisième involution aient un couple 
commun correspondant à une même valeur de À, done que 
l'on ait 
2  UUuy—(n—auu; ui — J(n — uiu; + aui 
En égalant le premier rapport au troisième et au second, il 
vient, après réduction 
Qauiu; — Cuè — au — U? + 2nuyu;, 
NU — A(MUe + NUx — Us) — (bd — mn)us = 0. 
L'élimination simple de À donne une équation du quatrième 
degré en u. 
Pour que la droite w soit diagonale de deux quadrangles, il 
faut que les équations (1) soient vérifiées par deux valeurs de À 
ou que la première de ces équations soit indéterminée, donc que 
l'on ait 
Us = 0, cui — aui — ui + Anuiuz = 0. 
