(164) 
singulières, c'est-à-dire pour qu'elles soient toutes deux inflexion- 
nelles, il faut que l’on ait 
am + cn —0, 2b — mn = 0. 
Une courbe ® de quatrième elasse à deux tangentes doubles 
est en général du huitième ordre. Cet ordre s’abaisse d’une 
ou de deux unités quand une ou deux tangentes doubles 
deviennent inflexionnelles; comme on vient de le voir, cette 
circonstance peut se réaliser sans que l’on renonce à l’hypo- 
thèse b 2 mn. 
L’enveloppe ® des diagonales des quadrangles inscrits dans la 
quartique quadrillée © est une courbe du huitième ordre qui peut 
s’abaisser au seplième ou au sixième ordre. 
Les équations (1) donnent, en multipliant la première par À, 
la seconde par 2u, et soustrayant, 
A (cu — aus + ui — 2muius) = 2(b — mn)uiu. 
Si l’on multiplie ensuite, membre à membre, cette relation 
et la première des égalités (1), on trouve l'équation tangentielle 
de la courbe ® : 
Dp= (cu — au? + ui — 2muu,) (cus — au — ui + Inuu;) 
— L4(b — mnuiuau; — 0. 
Sous cette forme, on peut voir que la courbe & ne possède 
que les deux tangentes singulières trouvées plus haut; en effet, 
un seul terme de son équation contient le coefficient b, lequel 
n'a pas, en général, de relation identique avec les autres coeffi- 
cients. Si donc la courbe ® possède des singularités tangentielles, 
elle les conserve quel que soit b, c’est-à-dire que les tangentes 
singulières appartiennent à toutes les courbes d'un certain fais- 
ceau tangentiel dont un élément est wiuou; — 0; ce système a 
pour singularités ou bien uw, — 0 et wo, u; quelconques, ou bien 
Uo — U; — 0; ces dernières valeurs ne vérifient pas D — 0, 
donc on doit supposer w1 = 0 et l’on en déduit au; — cu; —=0. 
Transformons l'équation de ® en prenant les tangentes 
