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d’entre elles entraînent évidemment la quatrième et, comme 
des mineurs relatifs à deux lignes d'un déterminant nul sont 
proportionnels, les égalités (1) sont vraies aussi quand on y 
remplace les A par des B ou des C. Pareillement, les égalités à 
démontrer (2) sont équivalentes à celles que l’on obtient en y 
substituant Ao, Bo, Co ou A>, B-, C; à A4, B4, C4, ete. 
Multiplions les rapports (1) respectivement par A;,, B,, C, et 
additionnons : le dénominateur s’annule identiquement et l'on 
a done 
(5) Ai(aiA, + DB, + cC) + Ao(aA, + DB, + c:C:) 
F ÀA;(a;A, + b:B, ae CsC1) — 0; 
mais, à cause de l'hypothèse (a/b'c!) = 0, on a visiblement 
(4) Ai(aiA, + biB, + ci) + As(aA, + BB, + CC) 
+ Aa, + b5B, + GC) = 0. 
Intervertissons les rôles entre les lettres accentuées et les 
autres; nous obtenons de même 
(5) Ai(aAi + dB + ci) + As(aAi + dB, + Ci) 
(6) Aa! + BB! + a!) + As(aA! + BB! + cC!) 
+ A;(asAs Se b:B, + C3Ci) = 0. 
Les égalités (3), (4), (3), (6) montrent que les deux équations 
homogènes en X, Y, Z, 
( X(a;A,+biB,+ciC)+ Ya, +beB,+ c0)+Z(a;Ai+b5Bi+ ci) =0, 
(X(a,A,+0,B/+cC/)+ Y(aAi+b,B; +00) + Z(asAi+0b3Bi + c;Ci)—0, 
admettent deux systèmes de racines non nulles et généralement 
non proportionnelles, savoir A,, A, A; et A;, A;, A;; donc ces 
équations sont identiques et leurs coefficients sont proportion- 
nels, ce qu'il fallait établir. 
Remarquons en passant que, si les quantités a;, b;, c;, a;, b;, c; 
sont des formes linéaires quaternaires, (a1bocs)—= 0 et (a,b:c:) —0 
sont les équations de deux surfaces cubiques les plus générales. 
