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Dans toute surface du quatrième ordre ayant une cubique 
gauche double, les plans des sections quadrillées enveloppent une 
autre surface du quatrième ordre, douée en général d’une cubique 
gauche double, et exceptionnellement d’une droite triple, bisécante 
de la cubique initiale; celte dernière circonstance se réalise quand 
les génératrices de la surface donnée sont les côtés d’une infinité 
simple de quadrilatères gauches inscrits dans la cubique donnée. 
Observons en passant que le raisonnement fait en dernier 
lieu ramène toujours le problème des polygones de Poncelet à 
On côtés pour deux coniques à un cas particulier du problème 
des polygones de Steiner de 2n côtés pour la quartique plane 
binodale. 
29. Si l’on demande une section plane triplement quadrilléé 
de la surface $,, il faut trouver un plan w qui présente la liaison 
ME + Na+ P—0 
avec chaeun des trois points où il coupe la cubique ; cette équa- 
tion du second degré devant avoir trois racines, ses coefficients 
doivent être nuls, 
M= G39 — ay; = 0, 
Nu = — (aus + Gila + Gosls + Os) = 0, 
Pu = And + Qjolo + ls + Qosly = 0. 
La première de ces relations est indépendante de w. Elle n’est 
vérifiée que si le cône circonserit à S; et de sommet (125) est 
harmoniquement inserit au cône de même sommet perspeclif à 
la cubique double ; car les équations tangentielles de ces cônes 
s'écrivent 
a —0, ui — 4kuu; = 0, 
et si l'on forme l'invariant simultané qui contient au premier 
degré les coefficients de la première forme, on trouve 
2(Q33 — Qi3). 
