90 HisToiRE DE L'ACADÉMIE ROYALE 
La quatrième partie traite encore des équations de tous les 
degrés, mais en ne leur fuppofant que deux termes ; ou que ft 
elles en ont trois, elles peuvent fe réduire au fecond degré par 
une fimple transformation. M. Clairaut y fait voir que celles 
qui n'ont que deux termes, & qui femblent ne donner qu'une 
ou deux racines, en ont toûjours autant qu'elles ont de degrés, 
pourvû qu'on admette en ce nombre Îes imaginaires. Les 
radicaux de tous les degrés s’introduifant ainfi aux yeux du 
lecteur , il fe trouve dans la néceffité de faire fur eux toutes 
les opérations qu'il avoit déjà faites fur ceux du fecond degré: 
il f fert de cette occafion pour développer d'une manière 
générale le calcul de l'élévation des puiflances & de l’ex- 
traction de leurs racines, & fait voir en même temps que ces 
racines ne font que des puiffances fraétionnaires. 
Les équations à trois termes dérivatives du fecond degré, 
ont pour leurs racines des quantités en partie radicales, & en 
partie commenfurables, qui étant placées fous un figne radical 
peuvent fe réduire, parce qu'elles font des puiflances com- 
plétes. On a donc befoin d’une méthode pour diftinguer les 
quantités de cette efpèce qui font des quarrés, ou quelqu’autre 
puiffance exacte. M. Newton l’avoit donnée; mais outre qu’il 
en avoit caché la démonftration, elle n'étoit applicable qu'aux 
feules quantités numériques , Jorfque les expofans des racines 
pafoient le fecond degré. M. Clairaut la démontre, ou plûtôt 
la fait inventer à fes lecteurs ; il y corrige même un défaut 
auquel elle étoit fujéte, fans qu'on s'en füt aperçû jufqu'ici. 
Cette méthode étoit infuffifante toutes les fois que la racine 
contenoit des fractions, & que la quantité n’en contenoit 
pas. Tout ceci amène la fameufe formule qui fert à élever un 
binome, à une puiflance quelconque, foit que les expofans 
foient entiers ou fraétionnaires, pofitifs ou négatifs. Il montre 
à cette occafion le rapport qu'a cette matière, ou au moins la 
formation des coëfficiens, avec la théorie des combinaifons 
qu'il expofe par une voie entièrement nouvelle & beaucoup: 
plus fimple que toutes celles qui étoient connues. 
La cinquième partie revient à l'examen particulier des 
