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En retranchant de la somme des segments positifs celle des 
segments négatifs, et en prenant la moitié du résultat, on déter- 
mine les points de contact du cerele x avee les côlés b et c du 
triangle donné. 
Viennent ensuite les recherches algébriques de Gergonne et 
Lavernède. Le premier (Ann. de mathématiques, tome 1, 1810) 
arrive à une expression compliquée des rayons des cercles 
cherchés. Il trouve 
r be— (AO — BO) (AO - CO) 
x PS NE PR oc 
AC, * b(c—AO0+BO)* + 240(c —AO + BO)(b— A0 + CO)+c(b—AO + CO) 
et cherche en vain à la ramener à celle de Malfatu : 
rues £(p -- r + AO — BO — CO). 
On peut y parvenir par des transformations faciles, mais assez 
longues (Simons, Bulletin de l’Acad. roy. de Belgique, 18784, 
p. 92). 
Les travaux de Tedenat ct de Bidone (Ann. de math., L. HD), 
qui apparaissent ensuite, sont peu importants. 
En 1820, Lchmus, docteur en philosophie à Berlin, publia, 
dans les Annales de Gergonne (t. X, p. 89), une démonstration 
r goureuse des formules de Malfatti, basée sur la considération 
de grandeurs trigonométriques, et conduisant à une construe- 
tion nouvelle des diamètres des cercles cherchés. On peut dire 
de cette solution qu'elle fut le point de départ de la plupart des 
recherches analytiques qui suivirent; eclle de Steiner, dont nous 
parlerons bientôt, devait être le pivot des recherches purement 
géométriques. 
« En variant Îles signes des radicaux d'une manière conve- 
» nable, ajoute Lehmus à la fin de son article, et en substituant 
» au cercle inscrit proprement dit chacun des trois cercles 
» ex-inscrits, on obticndra toutes les solutions dont le problème 
» est susceptible. » On peut affirmer que ces dernières réflexions 
ne lèvent aucune des difficultés que présentent les autres cas. 
