72) 
premier qui ait donné une démonstration purement géométrique 
‘du problème étendu à l'espace. 
En ce qui concerne le problème considéré dans le plan, 
faisons remarquer que tous les auteurs signalés jusqu'ici, à 
l'exception de Binder, se bornent au cas de trois circonférences 
intérieures au triangle formé par les trois droites données. Il 
n’est pourtant pas le seul que Steiner ait envisagé. Celui-ei ajoute, 
en effet, qu’il existe d’autres solutions analogues à la premiére, 
ainsi qu'on pourra en juger par la traduction litérale que voici : 
« 11 semble qu’à l’aide de ces douze cercles, et de la manière 
» indiquée ci-dessus, il y ait au moins huit solutions différentes ; 
». et comme la même chose aura lieu pour les points M,, M,, M;, 
le problème a done au moins trente-deux solutions. » L'ex- 
pression : il semble (es scheint) parait indiquer que l’auteur n'a 
fait qu'entrevoir les solutions restantes; il pourrait y en avoir plus 
de trente-deux; il parait moins probable que ce nombre doive 
être réduit. En fait, le nombre total de solutions est de trente- 
deux: mais la construction de Steiner ne conduit à ce nombre 
que par suite d'une association de cercles, qu'il n’a pas signalée 
et que Binder s’est efforcé de définir par l'énoncé suivant : « Si 
» l’on mène les bissectrices AO, BO, CO d’un triangle ABC, et 
» si l’on construit des cercles y et z tangents respectivement aux 
» trois côtés des triangles AOC, AOB, de telle manière qu'ils 
» soient vus du point A sous des angles égaux, la tangente 
» symétrique de AO, et commune à ces deux cercles, passe par 
» le point de contact du côté BC avec le cercle tangent de telle 
» manière aux côtés du triangle BOC, qu'il se trouve dans des 
» angles B et C égaux aux angles B et C des cercles y et z. » 
Ce théorème, dont l'énoncé pourraitse simplifier, est insuffisam - 
ment démontré par Binder. 
On reproche généralement à la solution de Steiner d'être 
longue et graphiquement peu exacte. On ne parait pas avoir 
remarqué jusqu'ici qu'il est possible de remédier à ce dernier 
inconvénient par la légère transformation qui suit. 
Mais commençons par faire connaitre la solution, telle qu’elle 
a été proposée par son auteur. 
