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On divise les angles du triangle ABC en deux parties égales 
par les bissectrices AM, BM, CM; dans le triangle AMB, on 
inscrit la circonférence ©, qui touche AB en C,; et, dans le 
triangle BMC, on inscrit la circonférence a;, qui touche BC 
en À,; du point C, on mène à la circonférence a, la tangenteC, A, : 
celle-ci sera l'axe radical de deux des circonférences cherchées. 
A cette construction nous substituerons la suivante : 
Soit C/ le point d'intersection de ab, avec la bissec- 
trice CM; joignez C'C, qui sera l'axe radical de deux des cir- 
conférences cherchées. La démonstration est des plus simples : 
les droites CM, C,A;, étant des tangentes intérieures communes 
aux cercles a, et b,, se couperont sur la ligne des centres en C'. 
A la construction d'une tangente à un cercle, menée d'un 
point extérieur, nous substituons le tracé d’une droite passant 
par deux points connus. 
En 1855, Schellbach avait fait connaitre une solution remar- 
quable, conduisant à une construction ingénicuse, quoique 
moins simple que celle de Malfatti. Comme ce dernier, d’ailleurs, 
il se bornait à montrer que les valeurs attribuées aux segments 
tels que AC, satisfaisaient aux équations obtenues, sans résoudre 
directement celles-ei. 
La solution de Schellbach, complétée, se retrouve dans divers 
ouvrages, parmi lesquels nous signalerons l'excellent traité de 
trigonométrie de Casey. Sous cette dernière forme, elle est simple 
et élégante, mais ne vise qu'un seul cas de figure. 
En 1845, M. Catalan publia dans les Nouvelles Annales (1. V, 
p. 61) une solution du problème de Malfauti, d'après Lehmus. 
Cette solution, étendue et simplifiée, fut ensuite reproduite par 
le savant professeur dans les Bulletins de l'Académie royale de 
Belgique. (octobre 1874); on la retrouve encore dans ses 
Mélanges mathématiques. Elle est, sans contredit, celle des solu- 
tions analytiques qui donne les résultats les plus complets, sous 
une forme très claire. Elle sera notre point de départ dans ce 
travail où nous traiterons successivement tous les cas non résolus 
- du problème, de manière à obtenir pour chacun d'eux une con- 
struction aussi simple et plus symétrique que celle de Malfatti. 
