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En 1872, M. Desboves présentait, dans ses Applications de 
trigonomélrie, trois méthodes de résolution du problème. En 
suivant la première, il signale les quatre cas suivants : « 1° les 
» trois cercles sont intérieurs au triangle ; 2 les trois cercles 
» sont toujours intérieurs au triangle, mais leurs points de con- 
»_ {act sont sur les prolongements des côtés; 3° les trois cercles 
» sont dans l’espace formé par le côté AB avec le prolongement 
» des deux autres; 4° deux des cercles sont inscrits dans les 
» angles 180°-B, 180°-A, et le troisième est compris dans 
» l'angle C, entre le sommet de cet angle et les deux autres 
» cercles. » 
Faisons remarquer que l'énoncé du second cas est fautif, Les 
points de contact peuvent parfaitement ne pas se trouver tous 
sur les prolongements des côtés, même dans le cas visé par 
l’auteur. On doit regretter, à propos des nouveaux cas de figure 
envisagés, pour la première fois, d’une manière explicite par 
M. Desboves, qu'il n'ait pas eru devoir les traiter complètement 
et qu'il n'ait pas signalé les constructions se rattachant à chacun 
d'eux. 
La seconde méthode, assez ingénieuse, sabordonne la résolu- 
tion du problème à celle de la question suivante : « Étant donné 
» un triangle, on propose d'y inserire une droite DE, telle que 
» sa longueur soit égale à la somme des perpendiculaires DF, EG, 
» abaissées de ses extrémités sur le côté BC, et qui satisfasse de 
:» plus à cette condition que son milieu se projette au point de 
» contact du côté BC avee le ccrele inscrit au triangle ABC. » 
On peut reprocher à cette méthode de s'appuyer sur une 
propriété que les solutions antérieures du problème ont seules 
fait connaitre. Ace titre, elle se trouve dans l'impossibilité de 
traiter les cas, non résolus jusqu'ici, à chacun desquels corres- 
pond une propriété analogue, mais non déterminée. 
La deuxième méthode n'est que celle de Schellbach com- 
plétée. 
En 1838, M. Pelletereau, ingénieur en chef des ponts et 
chaussées, publie une solution nouvelle qui, au double point de 
vue de la simplicité et de l’exactitude, ne présente aucun avan- 
