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6. Recherche des points de contact.— La recherche des points 
de contact revient, évidemment, à déterminer les segments AB. 
BC,, CA. 
Or, on a 
CA, — CA’ — A''A,, 
= 3 (CB + OC — OB — AO — OC’ + AC’), 
— ; (CO — AO — BO + p— r). 
On déduit de là 
CO — CA, — ; (AO + BO + CO — p + r). 
La symétrie du second membre fournit les égalités 
AO— AB,—BO —BC,—CO—CA,— 1 (A0 + BO + CO—p+r)—». 
On déduit de là 
AR AD 
BC, — BO — », 
CA T0 ee 
De là résulte la construction si élégante de Simons : 
« Du centre O du cercle inscrit au triangle et avec le rayon 
» p—3 (AO + BO + CO — p + r), on décrit une circonfé- 
rence qui coupe respectivement les bissectrices aux points f, 1, h; 
puis des points A, B et C comme centres, avec les rayons 
» Af, Bi, Ch, on décrit des arcs de cercle qui, par leur rencontre 
» avec les cotés du triangle, donneront les points de contact des 
CA 
= 
C4 
circonférences cherchées » ; 
ou bien encore : 
Les circonferences décrites des sommets du triangle donne 
comme centres, el qui coupent respectivement à angle droit les 
circonferences cherchées, passent à la mème distance du centre 
du cercle inscrit. 
Note. — Cette solution est, aux notations près, celle de 
M. Catalan (Bulletin de l’Académie royale de Belgique, 1874). 
