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Étant continues, elles sont positives pour les valeurs de 0 
proches du point 0 — 0. Si l’on admet que +,,, devient nul 
pour la première fois, avant que +,, devienne nul pour la pre- 
mière fois, on voit par la première des équations VI qu'au 
point où v,,, devient nul, +, et #, ou, ce qui est la même 
chose, +, et ,,, doivent être de signes contraires. Mais au début 
elles étaient toutes les deux positives; ©, n'a pas encore changé 
de signe, c’est donc v,,, qui a dû changer de signe. Donc +,,,: 
change de signe avant ©,,,. Mais à l'aide de la seconde équa- 
tion VI, on reconnait aussitôt qu'alors il faut aussi que ©; ait 
changé de signe avant ©,,,. En continuant ainsi, nous arrivons 
jusqu'aux fonetions d'un ordre infiniment grand. Mais l'équation 
de définition V nous montre que ces fonctions sont égales à 
l'unité, tant que 9 ne devient pas infiniment grand. Ainsi nous 
voyons que la supposition faite plus haut, que la fonetion 0, 
s’annule pour la première fois avant v,, exige que ©,,, s'annule 
avant ©,3,, et ainsi de suite. D'un autre côté nous voyous 
que cette supposition est impossible, parce que les fonctions 
de l’ordre infiniment grand ne s’annulent pas du tout pour 
des valeurs finies de 8 et, comme les racines de ces équations 
sont distinctes, il faut qu'en général ©,,, ne devienne nul pour 
la première fois qu'après que ©,, sera devenu nul pour la pre- 
mière fois. 
Quant aux autres racines de l'équation 
PmHA TT 0, 
on reconnait aussitôt, à l’aide de l'équation VIIT et des équa- 
tions VI, que chacune d'elles est située entre deux racines 
consécutives de l'équation 
En effet, chaque dérivée à au moins une racine entre deux 
racines consécutives de la fonction dont elle est la dérivée. Mais 
si l'équation 
Pm+1 = 0 
