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ou, ce qui est la même chose, 
avait plus d’une racine, par exemple k racines entre deux racines 
de l'équation 
P?m = 0 D 
la fonction +,,,,, s'annulant avec 
don+ 
de 
devrait avoir au moins À — 1, racines dans le même intervalle. 
Mais, par les équations VI, en chaque point où la fonc- 
tion ©, devient nulle, +, et »,,, sont de signes contraires; si 
,,2 change de signe  — 1 fois, , changera de signe k — 1 
fois dans cet intervalle, puisque ces fonctions n'ont pas de 
racines multiples. 
Mais +,, ne change pas de signe dans cet intervalle ; il faut 
donc que k soit égal à l'unité. C'est-à-dire que +,,,, change de 
signe une fois, mais une seule, entre deux racines consécutives 
de l'équation 
Pm = 0. 
De cette dernière propriété on pourrait aussi déduire celle 
dont nous avons parlé plus haut, c'est-à-dire que ©,,,, devient 
nul pour la première fois seulement après que +,, sera devenu 
nul pour la première fois. 
Passons maintenant au cas où 
1 
m—=nù Ar R— 04/2) 57 
Ici la fonction +,,, peut s'écrire (*) sous la forme suivante : 
C 
Pn +3 a a2"T! 
[X, sin x — X, cos x | 
(IA) 
2 5 5..(2n +1)] 
On + 1 
C 
(‘) Cf. Poisson, Théorie mathématique de la chaleur. Paris, 1855, p. 281. 
