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déré, ce qui ne doit pas arriver. La seconde éventualité n'est pas 
admissible, puisqu’un multiple de . ne peut pas être racine de 
l'équation X,.,, = 0 dont tous les coefficients sont des nombres 
entiers ou fractionnaires, et qui est composée d'un nombre fini 
de termes. 
Enfin dans le dernier cas, c’est-à-dire celui où la fonction 
deviendrait infinie avant la cotangente, elle passerait de l'infini 
négatif à l'infini positif encore dans le (n + 2)" quadrant. Dans 
l'espace du (n + 3)" quadrant, elle aurait continuellement des 
valeurs positives finies (*). Mais la cotangente étant positive dans 
ce quadrant, et en prenant toutes les valeurs de l'infini positif 
jusqu'à zéro, il y aurait nécessairement un point d'intersection, 
c’est-à-dire une seconde racine. 
Nous voilà done conduits à la conclusion, qu'il ne peut être de 
racine entre x — & et « == (n + 2) 3 puisque cela exigerait la 
présence d’une seconde racine dans l'intervalle, entre x = et 
æ — f, dans lequel il ne doit pas être plus d'une racine. 
Considérons encore le morceau du (x + 4)" quadrant, c’est- 
à-dire le morceau entre « — (n + 5) 5 eba te 
Il faut se rappeler qu'on &, d’après I, 
5\ [2\"# 
Pn+1 == r C <e 9 É J,41, 
X 
c'est-à-dire que la fonction + s’annule en même temps que la 
fonction J et qu’elles sont toutes les deux de même signe pour 
les valeurs positives de x. Mais on a une relation connue entre 
les fonctions de Bessel (**) 
9m 
d,,+ = Je ARE J (XVI) 
sn 
mA 
(*) Nous rappelons qu’elle ne peut plus changer de signe et qu’elle doit 
être positive. Cela se voit en considérant la formule XV et ce qui a été dit 
à propos de la vérification du théorème de Poisson et de Todhunter. ‘ 
(°*) On sait que cette relation se rapporte à toutes les fonctions de Bessel, 
. pourvu que m soit positif. 
