( 25 ) 
Il est évident que cette différence est continuellement positive 
dans tout l'intervalle de 0 à 7. Dans le troisième quadrant, la 
cotangente est positive et la courbe DE négative. Elle passe du 
positif au négatif au point x — V5. Done il ne peut exister d’in- 
tersection dans ce quadrant, mais il y aura un point d'intersec- 
tion dans le quatrième quadrant, puisque e reste continuel- 
lement négatif et la cotangente est aussi négative dans ce 
quadrant. Par un raisonnement semblable, on voit aussitôt qu'il 
y aura intersection, c'est-à-dire racine de l'équation #: — 0 dans 
le sixième, huitième quadrants et dans les autres ae pairs. 
Nous remarquons que la courbe 
DIX: 
Yi 
JX 
est une hyperbole ayant les asymptotes x = 0 et y + 3x — 0. 
On pourrait vérifier directement notre proposition pour les fonc- 
tions suivantes. Mais ce qui a été nécessaire pour la démontrer 
est déjà fait. En rassemblant tous ce qui a été dit, nous concluons 
que les racines de l’équation transcendante 
?nxt = 0, 0 RD eo 
sont situées dans les quadrants (n +2)", (n + 4)", (n + 6)", 
en général dans les quadrants (n + 21)" où n —1, 2,5 … 
Mentionnons maintenant quelques conséquences analytiques 
qui découlent de cette proposition ; 
En considérant les fonctions Pn:4 comme des fonctions de 8, 
c'est-à-dire de 5, on voit qu'elles se comportent comme des 
polynômes. En effet, elles sont des dérivées consécutives de la 
fonction C7 Quand l'ordre de la dérivée croit d’une unité, le 
nombre des racines diminue d'une unité. 
Considérons encore les fonctions J,,:; prenons, par exemple, 
toutes celles dans lesquelles x est pair. Quand n eroit de deux 
unités, le nombre de racines nulles croît aussi de deux unités, 
mais le nombre de racines qui ne sont pas nulles diminue de 
deux unités. En effet, J,,:,, ne s’annule plus dans le (n + 2)" 
