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observations. Entre autres, il a corrigé une erreur dans le calcul 
de la constante € (après la formule IX), et il m'a fait observer 
qu'il serait utile de démontrer que les racines des polynômes X, 
et X! sont toutes réelles, et d’éclaireir l’assertion émise aussitôt 
après la formule XV, que la fonction | 
ne peut changer de signe qu’une fois, et cela en passant par 
l'infini. 
Je me permets de lui exprimer ma reconnaissance pour ces 
observations, et, suivant son conseil, je donne ci-après quelques 
éclaireissements sur les lacunes qu'il a bien voulu me signaler. 
Pour prouver que les racines des polynômes X, , X’, sont 
toutes réelles, on peut suivre un chemin semblable à celui à 
l’aide duquel on est parvenu à la démonstration de la proposi- 
tion qui constitue le thème de cette note. 
Premièrement, on peut traiter directement les polynômes de 
l'ordre inférieur et passer à ceux de l’ordre supérieur, de proche 
en proche. Prenons, par exemple, les polynômes X, , on trouve 
aussitôt pour les deux ou trois polynômes de l’ordre inférieur 
que les racines de chaque polynôme d'un ordre plus élevé sont 
moindres que celles du précédent; d’ailleurs, on trouve qu’elles 
sont réelles. 
Observons maintenant que, les polynômes étant pairs, on peut 
se borner à la considération des racines positives seulement, et 
nous écrivons les relations [formules XIV]. 
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