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De ces relations on tire aussitôt les deux conclusions : 1° que 
les racines de l'équation 
sont distinctes de celles de 
X, 1 A 0; 
2 Que pour X, et X,,, deviennent nuls, il faut que X, et X 
soient de même signe. 
Admettons maintenant que les racines de 
n+ 1 
X, = 0 
el 
Ne 0 
sont toutes réelles, et que les points où X, coupe l'axe des X sont 
toujours plus proches de x — 0 que les points correspondants 
où X, _ , coupe cet axe, c'est -à-dire que les 
viennent avant 
Comme entre X, — 0 et le point le plus proche où X, _, — 0, 
d'après ce qui a été dit plus haut, les deux fonctions X, et X,_, 
sont de signe contraire; il est évident que la fonction X,_,ne 
pourra devenir nulle. Done elle ne peut devenir nulle que dans 
les intervalles : X — 0 à la première racine de X,, première racine 
de X,_,, à la seconde racine de X,, et ainsi de suite. 
Mais elle le devient nécessairement une fois dans chacun de 
ces intervalles. Dans le premier, parce que pour x = 0 X,_,est 
positif, et aussitôt après le point 
_elle est déjà négative. Dans les autres intervalles elle devient 
nulle une fois parce qu'avec les suppositions énoncées plus haut 
la différence 
x? 
_ (2n = 1)(2n. + 1) 
L 
n-1° 
