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Ces quatre polynômes restent positifs pour z 5 1. Ce nombre 
est done une limite supérieure des racines de l'équation (4), et 
une limite inférieure des racines positives de l'équation (5). Par 
conséquent, les racines négalives de la proposée (1) sont com- 
prises entre — #4 et — 1. 
Vous voyez donc, cher Camarade, qu'il n'est pas inutile de 
considérer l'équation f(— x) = 0. 
Le petit théorème suivant est-il connu? 
Soit l’équation réciproque 
At" + Au"! + An +. + An + Aux + Ao= 0. 
Si 1 est une limite supérieure des racines, cetle equation n’a 
aucune racine positive. 
En effet, le nombre 1 est une limite inférieure des racines 
positives. 
. =, . e . . . . . 0 . . e 0 A . . . . . . 
Votre bien dévoué très Ancien. 
14 avril 1892. 
P.S. J'ai demandé, à mon jeune ami Longchamps, des ren- 
seignements sur sa règle et sur celle de Laguerre. Ne vous 
semble-t-il pas qu'elles se réduisent, au fond, à celle de Bret? 
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A M. G. de Longchamps, Professeur au Lycée Saint-Louis, etc. 
Mon cHerR LONGCHAMPs, 
Ta demande d'explications, dont je te remercie, me prouve 
que tu ne m'as pas lu : comme Jean, j'ai prèché dans le désert! 
Le théorème de Bachet (ou de Fermat), que tu cites, doit être 
entendu ainsi : 
Tout nombre entier est un carré, ou la somme de deux carrés, 
ou la somme de trois carrés, ou la somme de quatre carrés. 
