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5. TuéorÈme V. Dans les courbes simpsoniennes, on a, entre 
cinq ordonnées successives, Yi, Ya, ss Ya» Ys, la relation 
(B) AY: + Un) — (y: se Ys) n Gys. 
Il suffit, pour le démontrer, de remplacer, dans la relation (A), 
l, let L en fonction des ordonnées. 
6. Tuéorème VI. Dans une parabole d’ordre n, il existe, entre 
n + 2 ordonnées équidistantes, Yi, Y», Y3 …, la relation 
n +1 (n + ln (n + 1)n(n —1) 
(C) Ysz2 — - RERO Je amino 
y —=0. 
En effet, considérons la suite 
Yas Yes Yss 
dont la différence n"°"° 
n n(n — 1) 
AY = Yrn — 17° + A OV eS — + E y, 
et la différence (n + 1)*"° 
À | n +1 (n + A}n (n + 1) n(n — 1) 
AY = Ynye — n Yu + pondre w TEE ERIC 
Ji 
n—1 
L'équation de la parabole étant de la formey=—Ax"+ Bx""+ -, 
sa différence n"” est constante, et, par suite, sa différence 
(n + 1)°% est nulle. 
Remarque. Si l’on fait n — 3 dans l'égalité (C), on retrouve 
l'égalité (B). 
‘7. Tuéorème VII. L'équation générale des courbes simpso- 
niennes est y = ax° + bx? + ex + d. 
L'égalité (B) donne 
Ys = 4yi — 6ys + 4ys — y. 
