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cette condition est vérifiée. D'ailleurs, cette condition peut s’écrire 
(a+ A) (aa; — ai) —(a:+ a,2;)(a05— Qia2) + (a3+ A) (avt — a?) —0, 
expression qui montre que le foyer A, de j;, est sur l'hyper- 
boloïde À,/;; la génératrice commune est done la droite hes- 
sienne. Nous avons ainsi les propriétés consécutives suivantes : 
Les bisécantes unissant les points correspondants de deux plans 
conjoints se trouvent sur l’hyperboloïde hessien. 
Les hyperboloïdes relatifs aux points correspondants de deux 
plans conjoints se coupent suivant la droite hessienne du système. 
Lorsque le foyer A décrit la bisécante hessienne, les couples 
de plans conjoints fournissent, pour chaque position de A, trois 
génératrices d’un même système de l’hyperboloïde hessien; de 
là l'énoncé : 
L’hyperboloïide f,, relatif à une bisécante f,, est le lieu des 
droites de jonction des points correspondants des couples de plans 
conjoints ayant leurs foyers sur cette bisécante. 
Les plans de la gerbe de sommet À coupent Ç; en des groupes 
de points dont les paramètres À, p, y satisfont à la relation 
as + A2 + pe + 2) + (Au + pv + vÀ) + apr —0. (19) 
Ils marquent donc sur la courbe les ternes de l’involution 
cubique du second rang, 1, ayant pour éléments triples les 
points dont les paramètres sont les racines de /; — 0. Ces élé- 
ments triples sont les points de contact marqués sur C; par les 
plans osculateurs menés par A. 
On peut vérifier que les ternes 14%, A2, A2, satisfont à la 
relation précédente; il en résulte que les plans 2,44, ALEX, A; 
passent par le foyer de la forme f;. Done, si l’on joint, par des 
plans, les couples ÀX, Àk, Xl aux points À, À, À3, ON pourra 
aisément reconnaîlre géométriquement les racines correspondantes 
de f; et de Q;. 
Le plan AAXX, passant par À, a son foyer dans le plan focal 
de f;; ce foyer est aussi dans le plan osculateur au point À, de 
C:; il se trouve done sur la droite AA,. Mais il est également 
sur l'intersection (2,4) des plans osculateurs aux points X;; les 
