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BC ; les rayons sphériques des cercles BG, AC, AB seront désignés 
respectivement par ®, Pr Po le triangle sphérique des pôles sera 
donné par ses côtés «, 8, y. La question est done de calculer la 
surface du triangle ABC, en fonction de «, &, y, o, ®, ®.. 
Nous supposons que le rayon de la sphère égale l'unité. 
Taéorème. — Si S est l’aire du triangle formé sur la sphère par 
trois cercles quelconques et s l'aire du triangle sphérique formé 
par les pôles, on a 
S— s — Z(aBC) — (Abc) (*). 
En effet, la différence entre S et s se compose de trois quadrila- 
tères tels que ABab, qui, décomposés chacun en deux triangles 
par les grands cercles diagonaux dessinés en trait plein, donnent 
ABab — AaB + Bba 
BCbc — BbC + Ccb (1) 
ACac = CcA + Aac. 
Mais les six triangles ci-dessus peuvent se grouper comme il 
suit, en ajoutant ceux qui ont respectivement pour côté commun 
Aa, Bb, Cc, 
AaB + Aac = cAB — Bac 
BbC + Bba — aBC — Cab (2) 
CcA + Ccb — bAC — Abc. 
En ajoutant membre à membre les équations (1), et en tenant 
compte de (2), il vient : 
S— 5 — Z{aBC) — E(Abc), (5) 
qui est la relation à démontrer. 
On voit facilement que cette relation résout le problème : Abc 
est un triangle sphérique, aBC est un secteur de zone à une base, 
(*) Nous désignons la surface aBG par aBC; un angle sera représenté par 
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aBC. 
