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Donc, quand l’invariant 1, de f,, est nul, la surface £f, appar- 
tient à la huitième espèce de Cayley et est formée des bisécantes 
à la cubique gauche qui s'appuient sur la droite fixe dont les 
coordonnées sont (15). 
Les racines de /, sont représentées alors sur C; par les points 
de contact des quatre plans tangents que l’on peut mener à la 
courbe par cette droite fixe. On sait que (*) ces points forment 
un quaterne équianharmonique. 
— On peut rechercher dans quel cas la surface Zf, est 
décomposable. L'équation (11), du second degré par rapport 
à l'expression 242; — z;, a pour diseriminant 
(&oaz — di) (z17 — 22) + 2 (a; — Gide) (Z1Z3 — 273) (227, — Zi) 
+ (aoug — 2) (2274 — 25). 
Le premier membre de cette équation sera le produit de deux 
facteurs de la forme (7) si ce diseriminant est un carré. 
On trouve ainsi la condition 
do(dodo + 2asasa; — à — ad3 — da;) = 0, (16) 
expression dont le second facteur est l’invariant J du système de 
la forme biquadratique. 
Donc, la surface YF, se décompose en deux hyperboloides inscrits 
à la cubique gauche si l’invariant J du système de f, est nul. 
Dans ce cas, les génératrices de Y/,, tangentes à la cubique 
gauche marquent, par leurs points de contact, une division 
harmonique (*). En effet, l’hyperboloïde correspondant au 
couple À, À a pour équation 
D (2473 — 25) — (14 + de) (2124 — 2075) + 210)0(227, — 75) = 0. 
La bisécanie 2:2, sera sur cet hyperboloïde, ou 2,1, formera 
(*) G. SALMON, Algèbre supérieure, trad. de M. O0. Chemin, 1890, p. 269, 
et R. SrurM, Darstellung binürer Formen auf der cubischen Raumcurve 
(JOURNAL DE CRELLE, 1879, t. LXXXVI). 
