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Nous nommerons cette nouvelle surface XH,. 
Un raisonnement analogue au précédent fait sur la surface ZH, 
montre que, réciproquement, la surface 2H, est l'enveloppe des 
hyperboloïdes correspondant aux génératrices de la surface ÿf,. 
Les propriétés réciproques de 2f, et ZH, se trouvent réunies 
dans la développable circonscrite X,, à C;; cette surface est en 
effet, comme on sait, le lieu des tangentes à la courbe et l’enve- 
loppe des cônes correspondant à ces tangentes. 
Aux quatre génératrices de 2H, tangentes à C;, correspondent 
quatre cônes enveloppés par 2f, ; ils sont les seuls. Nous avons 
ainsi le théorème : les sommets des quatre cônes tangents à f, 
marquent, sur C, les racines de l'équation H, = 0; les sommets 
des quatre cônes tangents à 2H, marquent les racines de f, = 0. 
On trouve facilement que la condition (16), appliquée à la 
surface ZH,, est (apag — ai) I? — 0; donc, si la surface XF, se 
décompose en deux hyperboloïdes inscrits à C;, il en est de même 
de la Surface XH,. 
En outre, l’invariant 1 = (/,, f,)* donne, appliqué à H,, la 
relation (H,, 4,)# =. Donc, les surfaces Xf, et SH, appar- 
tiennent simultanément à la huitième ou à la dixième espèce de 
Cayley. 
Æ. Le raisonnement suivant nous permettra encore de repré- 
senter, sur C3, les racines de H, et, en outre, de construire la 
surface 2/1. 
Aux dérivées partielles du premier ordre de /; correspondent 
deux plans dont les foyers, A, et A,, sont les points de l'espace 
définis par les coordonnées 
Zn: Lo 2 25: = — A3: Lo: — A: D) 
Zi : Zo - Z3. = — dj: O3 : — A2: A. 
Les plans passant par ces deux points rencontrent la cubique 
gauche en des ternes de points de l'involution cubique de pre- 
mier rang, qui a pour équations : 
Ag? + A + ur + 7À) + (A + Kw + ») + a = 0, 
Maur + {Au + uv + À) + GA + Kw + v) + a = 0. 
