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racines égales de H, = 0. Enfin, les racines des hessiens des deux 
f f 
formes — et = sont égales. 
1 CXo 
7. Nous savons qu’à un point de paramètre À, pris sur C3, 
correspondent deux génératrices AA, A4 de la surface Z/,. En 
écrivant que le plan qui passe par la bisécante 2,4, passe aussi 
par le point À, on obtient l'équation d'un plan, que nous appe- 
lons plan du point À, rencontrant Z/, suivant les deux généra- 
trices considérées et une conique qui s'appuie sur la cubique 
gauche aux points À,X où elle est tangente aux droites A, 11. 
Cette équation est 
LAURE + 2aÀ + ü:) Das Zal 45° Tara 543À mr! 24;) 
(25) 
== AU A Bas — 2aX) — Zz(a2À° == 2a;À° + a;}) — 0; 
de sorte que le foyer À du plan du point À a pour coordonnées : 
Z1 Zo 
5(a2)° + 2a:)° + ay) ay — 342)? — 2a,X 
. (24) 
Le LA 
Hire 3431 — 24; sa 3(ax° + 2a,À + a:) 
Ce foyer se trouve dans le plan osculateur à la courbe cubique 
au point de paramètre À. Mais les plans des points À, et X ont 
aussi leur foyer dans ce plan osculateur qui rencontre ainsi 
trois fois le lieu du foyer À ; ce lieu est donc une cubique gauche 
dont les équations paramétriques sont les formules (24). Nous 
nommerons cette nouvelle cubique C:. 
— La cubique C; est la courbe double de la surface réciproque 
de Sf,. 
Remarquons, en effet, que le plan osculateur à Ç;, au point À, 
renferme les foyers À et À, des plans des points À et À, de €, 
lesquels sont sur C: à la rencontre de cette courbe et des plans 
osculateurs aux points À et À. À la bisécante A de C; corres- 
pond done la bisécante AA’ de @. Le plan osculateur À est le 
plan du point À de la courbe C;; celle-ei est donc la courbe 
double de la surface réciproque de Ÿ/f;, qui est de même nature 
que 2j. 
