(14) 
U, V, W, .…, u, v, w, … étant des fonctions de x et y. Pour un 
point fixe du lieu, par exemple l'origine, les équations sont véri- 
fiées généralement par une mème valeur de k et l’on peut sup- 
poser que cette valeur soit £ — 0. 
Donnons à Æ une valeur infiniment petite. Le point du lieu 
infiniment voisin de l’origine est donné par les équations sui- 
vantes, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au 
premier, 
Ù + AV — 0, u + kv = 0, 
d'où 
Uv — uV = 0. 
Mais les coordonnées x et y de ce point sont aussi des infini- 
ment petits; done, si l'on appelle U, l'ensemble des termes 
d'ordre & en æ et y de la fonction U, on a par hypothèse 
U = Vs = 0 et, dans l'équation précédente, les termes du pre- 
mier ordre infinitésimal sont 
Uvo — uV, = 0. 
Cette relation donne la direction de la tangente au lieu à 
l'origine. Si l'on a vw — 0, c'est-à-dire si £ — 0 est racine double 
de f—= 0, la dernière relation équivaut à w, = 0, c'est-à-dire que 
la génératrice f est tangente au lieu, au point considéré. 
Si w, est identiquement nul (c'est-à-dire si les coeflicients de 
x et de y dans w, sont nuls), la tangente est indéterminée et 
l'origine est un point double ; on se trouve dans le second cas 
exceptionnel du n° 8. Si U,w, — ,V, est identiquement nul, 
sans que v, le soit, on a de même un point double répondant à 
une seule valeur commune de £Æ et l’on se trouve dans le pre- 
mier cas exceptionnel du n° 8. 
Enfin si l'on a vw = V, = 0, c'est-à-dire si À — 0 est racine 
double des équations F—0 et f — 0, l'origine est encore un 
point double, comme on le savait. On considère alors les termes 
U + AN + ÆW — 0, u + ko + kw — 0, 
