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et, en éliminant £,on a 
UE VE MW 
He Vi. 
—= (| 
u Ov w 
u OU w 
Pour avoir les termes du second ordre infinitésimal, il faut, 
puisque U,, V,, wo, v) sont nuls, prendre, dans les deux pre- 
mières colonnes, les termes du premier degré en x, y et, dans 
les deux autres, les termes indépendants de x, y : 
Vi Wo 
ÙU VW 
== (UD = 2 uWo) — 0. 
UE UTELD, 
U UT 
Ainsi les termes du second ordre forment un carré, de sorte 
que le point double est un point de rebroussement. Si, en outre, 
w, = 0, c'est-à-dire si k — 0 est racine triple de f— 0, on a 
simplement # — 0, de sorte que la tangente au point cuspidal 
du lieu est aussi la tangente à la génératrice f. 
On étend sans peine ce raisonnement à des cas d'ordre plus 
élevé. 
La démonstration pourrait se faire, sans infiniment petits, en 
considérant l'éliminant de Sylvestre, mais la notation est pénible. 
8. J'applique ces résultats à l'exemple traité. Pour les points 
Per P/(y = 0, x = + az), k = 0 est racine double de F = 0 
et racine triple de f = 0. Ces points sont donc des points cuspi- 
daux du lieu et la tangente en ces points n’est autre que la 
génératrice f, laquelle, pour & = 0, est simplement y — 0, ou 
l'axe des x. 
Pour les points 
Q(r=+a VE y=2 Tv) 
