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On peut appliquer, au cas plus général de la présence de 
courbes doubles, les formules données par Paseal, en les modi- 
fiant légèrement. Dans toutes les formules, sauf celles pour les 
singularités 6 et H, il suffit de substituer pour les nombres y et 
0 les valeurs B et H. Les formules qui donnent les singularités 
et H deviennent : 
B = Nu + Ni + Lo 
H — NiËe + NË: + 0; 
c’est ce que je me propose de démontrer. 
$ 2. Supposons que la surface U est du degré nr, possède 
une courbe cuspidale du degré v, et une courbe nodale du 
degré £,. De même, la surface V est du degré n, et possède des 
courbes cuspidales et nodales respectivement des degrés % et Eee 
Les surfaces U et V ont un contact ordinaire en 0 points et un 
contact stationnaire en 7 points. Soit s la courbe d'interseetion 
des surfaces U et V ; je suppose que cette courbe ne se décom- 
pose pas; son degré sera n — nn. 
Les y points de contact stationnaire sont des points de rebrous- 
sement 5 de la courbe s (*). La courbe cuspidale », de la sur- 
face U rencontre n:», fois la surface V en des points de rebrous- 
sement de la courbe s. En effet, un tel point P est un point 
double de la courbe d'intersection s, et les tangentes aux deux 
branches de la courbe s coïncident avec la droite d'intersection 
du plan tangent en le point P à la surface V et du plan tangent 
double de la surface U en ce point P. De même, les ny points 
de rencontre de la courbe cuspidale > avec la surface U sont 
des points stationnaires de la courbe s, ce qui donne la relation 
B— MY + Noys + XL: 
Les à points de contact ordinaire des deux surfaces U ét V 
sont des nœuds H de la courbe s (**). La courbe nodale & de 
(*) SALMON, loc. cit., $ 344. 
(F*) IbEn. 
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