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et le déterminant L s’annule pour les points -; et 0. La surface L 
passe done par ces points doubles et y rencontre la courbe 5, 
tandis que les tangentes en ces points à la courbe s ne reneon- 
trent pas, en général, la droite arbitraire !. Le rang de la courbe s 
sera done diminué pour chaque point Ô et y. 
$ 4. Soit m le nombre de fois que la courbe s rencontre la 
surface L en un point d. Alors il faut diminuer de m» le rang de 
la courbe s pour chaque point d. Le point à étant un nœud 
de la courbe s, ce nombre #» est au moins égal à 2. Prenons le 
point d pour origine des coordonnées et le plan tangent commun 
pour plan z — 0. Les équations des surfaces UÜ et V seront : 
O—2z+ ax + 2hxy + by + 2gxz + 2lyz +etc, 
O—z+ ax + 2hxy + d'y + 2g'xz + U'yz + etc. 
En n’écrivant que les termes du degré le moins élevé dans 
l'équation de la surface L, on obtient : 
du a UE 3 
b, be b; b, 
2ax + 2hy + 2gz 2hx + 2by + Az 1 (ni —1)z je 
2a'x + 2hy + 2g'z 2x + %'y + Y'z 1 (nn: —1)z 
Les deux dernières rangées de ce déterminant deviennent 
identiques pour x = y — z — 0; l'origine se trouve done sur la 
surface L, et l’on voit facilement que l’origine est un point simple. 
La surface L rencontre la courbe s en plus de deux points si 
cette surface est tangente à une des deux branches de la courbe s 
qui passent par le point 0. Coupons donc la surface L par le 
plan z—0. On trouve facilement que les termes du premier 
degré de l'équation de la courbe d'intersection Z sont : 
(ab, — bias\}(h — h')x + (b — b')yt + (ais — bia) 
a — a')x + (h—h)yt 
