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En choisissant pour x, et y, des infiniment petits du premier 
ordre, mais du reste quelconques, les équations (E) déterminent 
complètement les valeurs X, et Y,. Les équations (B) et (D) 
serviront alors à déterminer les valeurs de z, et Z,, et les 
équations (A) et (C) représenteront un même plan tangent aux 
surfaces U et V aux points (x, y,, z1) et (X,, Y,, Z). En 
ne tenant compte dans les équations des plans tangents que des 
infiniment petits du premier ordre, on trouve donc une infi- 
nité de plans tangents communs infiniment voisins du plan x. 
On ne peut donc pas déterminer le plan tangent commun des 
surfaces U et V, infiniment voisin du plan +, en ne tenant 
compte que des infiniment petits du premier ordre. 
8. En négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur au 
second et en tenant compte de ce que la variable z d’un point 
situé dans le plan tangent est infiniment petite par rapport aux 
variables x et y, on obtient pour les équations des plans tangents 
aux points (24, Y1, Zi) €t (X1, Vi, Zi) 
x {2ax, + 2hy, + 292, + 3da? + 6exy, + 3ky?} 
+ yÎQhx, + 2by, + 22, + ext + Ghxiy, + 5my}| (A’) 
+ 2 + 2gas + Qyil — 2, + Dani + hhx,y, + by}, 
af 2a'X, + 2h Y, + 29/2, + 5d'X? + Ge’XiY, + 5k/Y?| 
+ YiANX, + 2'Y, + 2f7Z, + 5e'Xi + GE'XIY, + 3m'Y?} (C’) 
+ zii + 29/X, + Qf'YÉ — 2, + 2a/X? + ANX,Y, + 20/Y2. 
Les équations (A/) et (C/) devant représenter le même plan, 
les coefficients de ces deux équations seront proportionnels ; x, 
Ya; X4, YA étant des infiniment petits, on pourra poser 
À + 2gx, + 2fys 
———————— ll +0, 
1 + 29'X, + 2f/Y, à 
où v représente un infiniment petit du premier ordre. 
