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changée de sens, est constamment égale à celle de AP, ou à la 
moitié de celle du rayon OP, ou encore à la moitié de celle de la 
parallèle wM à ce rayon. Par conséquent (3), la droite d enve- 
loppe une X; tritangente au cercle d’Euler de ABC et M est son 
point primaire (*). 
Si l’on suppose P en A, B, C, d se confond avec AA,, BB,, CC; ; 
donc les hauteurs de ABC sont des tangentes à 96;, ayant pour 
points primaires les milieux des distances HA, HB, HC. 
Lorsque P coïncide avec la seconde extrémité de l'un des 
diamètres AO, BO, CO du cercle O, d se confond avec BC, CA 
ou AB; donc les côtés de ABC sont des tangentes à 96, ayant 
pour points primaires A,, Be, C,. Les points de contact de ces 
côtés avec %, sont les symétriques L,, L;, L, de A,, B,, C, par 
rapport à A», B2, CG. Les normales en ces points concourent en 
un point L, qui est le symétrique de H par rapport à O. Les 
droites AL,, BL,, CL, concourent en un point L’, qui est le 
réciproque de H dans le triangle ABC, et aussi l’anticomplé- 
mentaire du point Lemoine, car L,, L,, L, sont les milieux des 
hauteurs du triangle anticomplémentaire formé par les paral- 
lèles menées à BC, CA, AB par les sommets À, B, C. 
Il existe donc une conique € qui touche les côtés du triangle 
ABC, et, par suite, 3; en L,, L,;, L.. Si l'on considère LB, L,C 
comme deux tangentes infiniment voisines menées de L, à £, le 
centre de cette conique doit se trouver sur la droite joignant 
les milieux des diagonales BC, AL, du quadrilatère circonscrit 
ABL,C; cette droite est évidemment A,0; donc le centre de € 
est le point O. 
Nous reviendrons plus loin sur ces coniques tritangentes à 9C.. 
6. Une hypocycloïde JG étant donnée, il existe une double 
infinité de triangles ABC des droites de Simson desquels elle est 
l'enveloppe. En effet, soient (fig. 2) CA, CB deux tangentes 
(*) Ce théorème est dû à Steiner. L’hypocycloïde enveloppe des droites 
de Simson d’un triangle est souvent désignée sous le nom d’hypocycloïde 
de Steiner de ce triangle. 
