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de abc décrit une XC; qui est une développante de JC/; enfin, tout 
point invariablement lié à abc décrit une hypotrochoïide de 
module — : Ce 
12. Soit o’ le point diamétralement opposé à o sur la circon- 
férence de diamètre HO (fig. 3), et soit hh, la corde perpendicu- 
laire au diamètre O0’. Les droites ho, ho’, hh, sont tangentes à 
l'hypocyeloïde 96 ; ce sont les droites d'Euler de trois triangles 
abc, a/b'e, XYZ circonserits à l'hypocycloïde 96 et semblables au 
triangle principal ABC. Les deux premiers triangles ont même 
orthocentre h et les centres de leurs cercles circonserits sont les 
points o et 0’; le triangle XYZ a pour orthocentre A et le centre 
de son cercle eirconscrit est le point ». Je dis que ce triangle est 
circonscrit à la fois aux deux triangles abc, a’b'c/. En effet, les 
troisièmes tangentes menées des points a, b, c à 96 forment un 
triangle X/Y/Z/ semblable à abc; or les distances ha, hb, he, 
doubles des distances de o aux côtés du triangle abc, sont aussi 
proportionnelles aux distances de k aux côtés du triangle X/Y/7/, 
ces côtés faisant respectivement un même angle avec les hauteurs 
ha, hb, hc; donc h est aussi le centre du cercle circonserit au 
triangle X/Y/Z/, et, par suite, ce triangle coïncide avec XYZ. On 
verrait de même que ce triangle XYZ est circonscrit au triangle 
ab'c’. 
Nous laissons au lecteur le soin dénoncer le théorème qui 
résulte de là, ainsi que sa réciproque. 
13. Lorsque hh, — oh, les triangles XYZ et abc sont égaux. 
Alors l’angle hoo’ — 30°, et comme l'arc Hh — 200 — 2Ho/, on 
voit que l’are HA — 40°, Oo — 20°, done ho fait avec HO un 
angle de 10° et l'angle de h;h avec HO est égal à 110°. Done si 
les côtés de deux triangles semblables circonserits à une 9, font 
avec les côlés homologues du triangle principal qui leur est 
semblable des angles respectivement égaux à — 10° et à 110°, ces 
triangles sont égaux, et le premier est inscrit au second. 
(*) Ce théorème constitue la question 1133 que nous avons proposée dans 
Mathesis (1897, p. 214) et qui n’a pas encore reçu de solution. 
