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15. Soient Q,; (fig. 4) le point où PQ/ rencontre le cercle 
ABC et Q/’ le point de rencontre de AQ, avec BC. L’angle 
AQ/'B — AQ;Q = ACP—%5— 4; donc Q/ et L' sont isoto- 
miques sur BC et la droite AQ/’ est la symétrique de AQ par 
rapport à la hauteur AA, et l'isogonale de AP par rapport à 
l'angle BAC. 
On conclut de là que les droites AL’, BL’, CL' ne sont pas en 
général concourantes, car si elles l’étaient, il en serait de mème 
de AQ// et des droites analogues menées par B et C. Or trois 
droites menées par À, B, C et faisant le même angle z avec les 
hauteurs du triangle ne peuvent être concourantes que si x — 0. 
Donc il n'existe de conique touchant les côtés du triangle et par 
suite l’hypocycloïde en L’, L;, L' que si le triangle ABC est 
principal. En d’autres termes, les tangentes menées à une X aux 
points où cette courbe est touchée par une conique trilangente sont 
toujours les côtés d’un triangle principal. 
Nous verrons plus loin que ces coniques tritangentes sont 
toujours des ellipses. 
III. — Ellipses tritangentes. 
16. Sur une circonférence de centre O et de diamètre 
BC — 2a (fig. 5), prenons un point fixe A et un point variable L. 
Soient F et E les projections de ces points sur BC, A’ et L’ 
leurs symétriques par rapport à BC, D et « les milieux de la 
corde AL et du rayon OA. Le cercle d'Euler du triangle 
rectangle ABC a pour centre w et passe par les points À, D, F, O. 
La droite DE, droite de Simson du point L par rapport au 
triangle ABC, enveloppe une hypocycloïde K, tritangente au 
cercle «. D'ailleurs, on peut observer que les vitesses angulaires 
des droites AL, AL’ étant égales et de signes contraires, celle 
de DE, parallèle à AL/, est égale et de sens contraire à la 
moitié de celle de OL, ou encore de celle de oD. 
Cela posé, réduisons l'ordonnée EL dans le rapport b:a, 
b étant une longueur donnée plus petite que a, c'est-à-dire suppo- 
sons ME: LE = 6 : a. Le point M décrira une ellipse € ayant 
