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Il en résulte les propositions suivantes : 
La circonférence qui passe par les points primaires (sur e) des 
trois côtés d’un triangle principal de IC, (ou de 9C,) passe par À,. 
Réciproquement, foute circonférence passant par À, rencontre € 
aux points primaires des trois côtés d’un triangle principal. 
20. On sait que la somme des anomalies des pieds des 
normales issues d’un même point à une ellipse est un multiple 
impair de 7. Mettons les relations (2) et (5) sous les formes 
Mto+ A+ (27 —a)— (9h +1), 244 2+2;+(T— 0) — (2% —1)r; 
elles admettent alors les interprétations suivantes : 
Si d’un point de la normale en A, on mène à & les trois autres 
normales, les points d’incidence de ces normales sont les points 
primaires de trois tangentes concourantes à X, (ou à IC). 
Si d’un point de la normale en À, on mêne à & les trois autres 
normales, les points d'incidence de ces normales sont les points 
primaires des trois côtés d’un triangle principal de X, (ou de 96;). 
21. Portons vers l'extérieur et vers l'intérieur de e (fig. 5) 
sur la normale en M deux longueurs My et My’ égales au demi- 
diamètre conjugué à OM ; nous convenons d'appeler les points p. 
et p' respectivement le premier et le second point de Chasles 
relatifs au point M. On sait que les droites Oy. et Op’ passent 
respectivement par L et par L’ et sont égales à a + betà a—b; 
les points & et p' décrivent donc, lorsque M se déplace sur e, 
deux circonférences concentriques à e, ayant pour rayons «a + b 
et a — b, et qui ont reçu les noms de premier et de second 
cercle de Chasles de l’ellipse. 
Le rayon w'D' du cercle w’ est parallèle à Oy et est égal à la 
moitié de cette droite; done ED’ coupe OA en un point fixe H, 
symétrique de O par rapport à «w/ et appartenant au second 
cercle de Chasles, et D’ est le milieu de Hy. Donc la droite MD’ 
qui joint les milieux de pH et py/ est parallèle à Hp’. Par 
conséquent, si par un point M mobile sur une ellipse e on mène 
