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On conclut de là que e// est, dans le cas actuel, la courbe 
homothétique de s par rapport à AÀ,, le rapport d’homothétie 
étant 4 : 5. Donc 
Lorsqu'une ellipse de grandeur invariable e se déplace en 
restant trilangente à une X; fixe, elle enveloppe une hypotro- 
choïde k de module — et le rapport des arcs correspondants 
des courbes & et k est constant et égal à 5 : 4. 
31. Les pieds des normales menées d’un point H, à une 9%; 
étant les points de contact de cette courbe avec une ellipse e, si 
l'on suppose que deux de ces points coïncident, e aura avec 
l'hypocycloïde un contact quartiponetuel, et le point H, appar- 
tiendra à la développée de cette courbe. Les propriétés connues 
de 9%: conduisent sans difficulté aux résultats suivants, que nous 
nous bornons à énoncer : 
Si une ellipse e a avec une X; un contact quartiponctuel en un 
point À et iouche cette courbe en un second point B : 1° son 
centre C est le symétrique, par rapport au centre du cercle 
trilangent, du point de contact de l’hypocycloïide avec la tangente 
perpendiculaire à la tangente en À, et, par conséquent, le lieu 
de C est une JC: égale à la première; 2 la tangente en B est 
perpendiculaire à la tangente menée par A et dont le point de 
contact n’est pas À ; 5° la normale à l’ellipse au point B coupe 
l'ellipse au point diametralement opposé à À ; 4° le rayon CA de 
Pellipse est égal au diamètre du cercle tritangent: 5° le point 
d'intersection des tangentes en À et B et la projection de C sur la 
tangenie en À se trouvent sur le cercle tritangent. 
32. Supposons que l'ellipse £ se déforme, tout en restant 
tritangente à 96,4, de façon que son centre O (fig. 5) décrive une 
droite &/O passant par le centre du cercle tritangent à 94. 
L’angle Ow/c’, qui est égal à ; (rx — 24), étant alors constant, « est 
aussi constant, et, par suite, les axes e ont des directions fixes; 
de plus, le point À, est fixe, car la droite w/A, fait un angle 
constant avec wo’ et a une longueur constante égale au rayon 
du cercle tritangent. D'ailleurs, les demi-axes de e sont égaux 
