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41. Soit R (fig. 8) le symétrique de D par rapport à O: le 
point M sera la projection de R sur BC. Le théorème précédent 
peut done prendre la forme suivante, qui constitue une généra- 
lisation curieuse du théorème de Steiner concernant l'enveloppe 
des droites de Simson d’un triangle : 
L’ellipse & qui passe par les projections d’un point quelconque R 
sur les côtés d’un triangle ABC et dont le centre est au milieu de 
la droite qui joint ce point à l’orthocentre du triangle est trilan- 
gente à l’hypocycloide de Steiner du triangle ABC. Les axes de 
celte ellipse sont égaux aux segments délerminés par R sur le 
diamètre du cercle ABC qui passe par R et sont parallèles aux 
droiles de Simson des extrémités de ce diamètre. 
Nous n'avons pas donné de démonstration explicite de la 
dernière partie de ce théorème. Nous laissons au lecteur le soin 
de dévélopper cette démonstration, qui résulte de ce qui a été dit 
aux paragraphes 26 et 32. 
42. Supposons que le point R décrive une droite À (fig. 8); 
le point O décrit alors aussi une droite et, par conséquent (38), 
l'ellipse passe par un point fixe. Lorsque le point R coïncide 
avec l’un des points où la droite À rencontre le cerele ABC, € se 
réduit à la droite de Simson de ce point. Par conséquent, 
lorsque le point R décrit une droite À, lellipse e, définie au para- 
graphe précédent, passe par un point fixe silué à l'intersection 
des pédales des points où À rencontre le cercle ABC. 
Réciproquement, si une corde SS/ du cercle ABC tourne autour 
du point fixe R, le lieu géométrique du point d’intersection des 
pédales des points S et S' par rapport au triangle ABC est une 
ellipse € tritangente à l’hypocycloïde de Steiner du triangle ABC. 
43. On peut étendre les théorèmes précédents aux droites 
de Simson d'angle «. Supposons encore que la corde SS/ tourne 
autour du point R et soient «By et «/B/y! (*) les pédales d, des 
points S et S’. Sur DS, DS’, DR, construisons des triangles 
(*) Le lecteur est prié de tracer la figure. 
