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sement de 90, et les centres de ces ellipses sont les points de 
rebroussement de la courbe x. 
54. Étant donnés l’ellipse e et le point A, de cette courbe, 
proposons-nous de mener par un point donné P (x, B) des tan- 
gentes à l’hypocycloïde correspondante 9Q4. 
Soient x, y les coordonnées du point primaire M d’une telle 
tangente, et x, y, celles de A,; les coordonnées des points A et 
L’ (fig. 5) seront (a, y = y), (&, — y). En exprimant que 
les droites MP, AL’ sont parallèles, on trouve 
b(y — B)(x — x) + a(x —x)(y + y), - . . (8) 
ou 
(a + b)xy — (08 — ays)x — (aa + bx,)y + bBxi — aay, —0. (9) 
Si x, y sont des coordonnées courantes, l'équation (9) repré- 
sente une hyperbole coupant e au point A,(x,, — y.) et aux points 
primaires M, M,, M: des tangentes menées de P à 96; cette 
hyperbole passe aussi par P et ses asymptotes sont parallèles 
aux axes de e. 
On peut encore arriver à cette courbe auxiliaire comme suit. 
Les droites AL’, MA, se coupent en un point d de BC. Or 
lorsqu'on joint un point à mobile sur BC aux points À, A,, la 
droite Ad et la parallèle menée par P à AG se correspondent 
dans deux faisceaux projectifs ; par suite, leur point d’intersection 
engendre une conique passant par A,, par P, et par les points à 
l'infini sur les axes de e. Les points cherchés M, M,, M: appar- 
tiennent évidemment à cette hyperbole. 
55. L’hyperbole (9) passe par O lorsque 
bBx, — aay =0, où -=——-——;. . . (10) 
ce qui suppose P sur la droite OA. On peut alors l’identifier avec 
l’hyperbole d’Apollonius d’un point R(x2, y2:) représentée par 
ay + bysx — dxxy — 0; 
