(4) 
Si l’on considère x, y comme coordonnées courantes, l’équa- 
tion (11) représente une hyperbole passant par les points P, A: 
et ayant pour centre le milieu de la droite PA:; les axes sont 
parallèles à ceux de e et sont proportionnels à V/a et V/b. Par 
conséquent, on peut énoncer le théorème suivant : 
Par un point fixe À, d’une ellipse e on peut faire passer une 
hyperbole variable n dont les axes sont parallèles aux axes de et 
sont proportionnels aux racines carrées de ces axes. Les droites 
qui joignent les points d'interseclion, autres que À:, de s el n, au 
point diamétralement opposé à À, sur n enveloppent une hypocy- 
cloide %, trilangente à e et dont la grandeur ne change pas avec 
la position de À: sur e. 
Une proposition analogue s'applique à l’hypocycloïde 96,, sauf 
à remplacer l’hyperbole n par une ellipse. 
5'7. Projetons orthogonalement la figure précédente de façon 
que les ellipses ou les hyperboles n se projettent suivant des 
cercles ou des hyperboles équilatères. Dans le premier cas, les 
droites PM et AM sont rectangulaires; dans le second, ces droites 
sont également inclinées sur la bissectrice de l'angle des axes 
de <. On en conclut : 
La courbe antipodaire d’une ellipse e (*) par rapport à un 
point À, de celte courbe esl une projection orthogonale d'hypocy- 
cloïde à trois rebroussements. L'aire de celte courbe est indépen- 
dante de la position de À: sur e/. Ce théorème s’applique aussi à 
l'enveloppe d’une droite d passant par un point variable M de e et 
lelle que les droîtes à et À; soient également inclinées sur la 
bissectrice de l'angle des axes de e/. 
58. Soient 2a/, 2b/ les axes de €. On voit facilement que la 
projection du second cercle de Chasles de e est une ellipse ayant 
12 —_ pr2 72 __ 2 L 3 
pour axes 2 * _ ; D. D'autre part, les points de contact 
(*) La nature de cet antipodaire a été établie différemment par LAGUERRE 
(OEuvres complètes, t. II, p. 584. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE 
FRANCE, 1879). Ce théorème ne diffère pas essentiellement de celui qui a été 
démontré au $ 36. 
