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de e/ avec son antipodaire sont les points d'incidence des nor- 
males menées par À, à s’. D’après cela, les résultats trouvés au 
$ 23 nous permettent dénoncer le théorème suivant : 
On peut circonscrire à une ellipse es! une infinité de triangles 
tels que les normales menées à €! aux points de contact des côtés 
de chacun d’eux avec & concourent en un même point de e/. Ces 
triangles sont inscrits à une ellipse fixe e'! coaxiale avec &/ et 
ayant pour axes ue 9 Le Le lieu de leurs centres de 
gravité est une ellipse semblable à e/!, etc. (*). 
59. Dans son célèbre mémoire sur l’hypocycloïde (**), 
Steiner fait connaître sans démonstration le théorème très 
curieux que nous énonçons ainsi : 
ABC étant un triangle principal d'une K:, si l’on inscrit à ce 
triangle une conique quelconque passant par l'orthocentre H, la 
tangente à celle courbe au point diamétralement opposé à H 
touche constamment l’hypocycloïide H:. 
« C’est le professeur Schäfli, dit-il, qui a attiré mon attention 
sur cette propriété. » Cremona démontre le théorème Schäfli- 
Steiner en s'appuyant sur des théories très générales. Je vais 
donner ici une démonstration directe d’une proposition plus 
générale. 
Soit D un point fixe; considérons une conique variable Y 
inscrite au triangle ABC et passant par D et cherchons l’enve- 
loppe de la tangente menée à Z au point J diamétralement 
opposé à D. | 
Si cette tangente coupe BC, CA, AB en AÀ,, B;, C, (fig. 12), 
on sait que les couples de droites (DA, DA), (DB, DB,), 
(DC, DG), joignant le point D aux sommets du quadrilatère 
complet AB,A,B, sont en involution et que les couples de 
tangentes menées de D à une conique inscrite à ce quadrilatère 
appartiennent à cette involution. Dans la conique passant par D, 
(*) Ce théorème a été signalé par M. FAURE, Nouvelles Annales, 1871, 
p. 40. 
(**) CRELLE, livre IIL, pp. 231-237; OEuvres complètes, II, p. 646. 
