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60. Si l’on construit une conique circonscrite au qua- 
draugle ABCD, cette conique détermine sur A,B,C, un couple 
de points «, a’ qui se correspondent dans l’involution (A.,A’, 
B,B’, B;C’) et qui sont done symétriques par rapport à M. Si D 
est l’orthocentre, M se trouve sur le cercle d’Euler. Donc l’enve- 
loppe d’une corde d'une hyperbole équilaière dont le milieu décrit 
une circonférence passant par le centre de l'hyperbole est une SC: 
Cette proposition résulte aussi très simplement des propriétés 
des diamètres conjugués de l’hyperbole équilatère. 
Deux positions particulières du couple ax' méritent d’être 
considérées : 1° si « est à l'infini, &’ est aussi à l'infini ; si «& coïn - 
cide avec M, &/ coïncide aussi avec M. On a donc les propositions 
suivantes, dont la première est bien connue : 
 L’enveloppe des asymptotes des hyperboles équilaières circon- 
scrites à un triangle est l’hypocycloïde de Steiner de ce triangle. 
L'enveloppe des tangentes menées à une hyperbole équilatère 
variable circonscrite à un triangle aux points ou cette courbe 
rencontre le cercle d’Euler de ce triangle est l’hypocycloïide de 
Steiner. 
61. Proposons-nous de chercher le lieu du point J, ou, ce 
qui revient au même, le lieu du centre I d'une conique X inscrite 
au triangle ABC et passant par le point fixe D. Ce problème est 
ordinairement traité par l'analyse (*); la solution suivante est 
-peut-être nouvelle. Soient A/’, B/’, C/’ (fig. 12) les points de ren- 
contre de la tangente DX à X avec BC, CA, AB et (D,, D,, D,), 
(E,, E,, E.) les milieux des droites DA, DB, DC et B//C//, C//A/, 
A/!'B/’. D'après un cas particulier d'un théorème de Newton, le 
lieu des centres des coniques qui touchent AB/, AC//, B//C/, la 
dernière droite en D est la droite D,E,. Le centre I est donc à 
l’intersection des droites D.E,, D,E,, D.E,, et si F,, F,, EF, dési- 
gnent les symétriques de D par rapport à E,, E,, E,, le point J 
sera à l'intersection des droites AF,, BF,, CF. Or, lorsque 
A'/B//C/' tourne autour de D, le lieu de F, est une hyperbole 
(*) Voir SALMON, Sections coniques, p. 373. 
